blog.sciencenews.org

Поразительные произведения создаются посредством математической визуализации.

Математики часто восхищаются строгой элегантностью отточенных доказательств. Но у этой науки есть красота и попроще, красота, которую легче воспринять: при помощи математики можно создавать простые и, вместе с тем, очень красивые объекты.

Именно такая красота в избытке демонстрировалась на дисплее во время выставки математического искусства, состоявшейся в рамках «Общего математического собрания» (Joint Mathematics Meetings), которое прошло в январе в г. Сан-Диего. Свои работы продемонстрировали более 40 художников.

Майкл Филд (Michael Field), профессор математики из Хьюстонского университета, черпает вдохновение из своей работы с динамическими системами. Математическая динамическая система — это любое правило, описывающее движение точки на плоскости. Филд использует уравнение, которое берет любую точку и переносит ее в новое место. Он повторяет этот процесс снова и снова — около 5 млрд. раз — и отслеживает, как часто и в каких ячейках плоскости размером с один пиксель появляются точки. Чем чаще точка появляется в одном пикселе, тем темнее он становится.

«Коралловая звезда» демонстрирует движение, созданное динамической системой.
Michael Field

Математики просто очарованы динамическими системами, потому что даже самые простые уравнения могут создавать очень сложное поведение, а при помощи этого поведения, как обнаружил Филд, можно получить удивительные изображения. Например, динамическая система, которую он демонстрирует в «Коралловой звезде», по мере приближения к центру начинает вести себя по-особенному (технически, уравнение прерывается в начале координат). Поэтому, чем ближе к центру, тем сложнее рисунок.

«Даже вдали от центра в рисунке присутствует определенная глубина», — говорит Филд. «Это происходит благодаря окраске. Я не большой любитель ярких основных цветов. Именно затемнение делает рисунок интересным».

Рисунок обладает необычной симметрией 35-го порядка. Филд создал его в качестве подарка жене на их 35-ю годовщину.

Роберта Боша (Robert Bosch), профессора математики из Оберлинского колледжа в штате Огайо, вдохновила старая и, казалось бы, банальная задача, скрывающая некоторые глубокие математические принципы. Возьмем шнурок, завязанный в петлю, и бросим его на бумагу. Он может образовать любую форму, какую только пожелаете, и при этом не будет соприкасаться и пересекаться с самим собой. Теорема гласит, что эта петля разделит страницу на две зоны: одна будет находиться внутри петли, а другая — снаружи.

Белая линия образует петлю, разделяющую плоскость на две зоны. Если посмотреть издалека, то рисунок напоминает кельтский узел.
Robert Bosch

Трудно представить, что может быть как-то иначе, тем более если эта петля образует плавную изгибающуюся линию, то разделение на две зоны будет очевидным. Но если линия очень и очень извилистая, то уже сразу и не скажешь — находится ли определенная точка внутри или снаружи петли. Топологи — математики, изучающие подобные вещи, сумели построить множество странных, «патологических» математических объектов с очень удивительными свойствами, и они по своему опыту знают, что не стоит полагать, будто в случаях как этот доказательств не требуется. Как оказалось, эту задача не из легких: математикам понадобилось 20 лет, чтобы найти соответствующее доказательство.

Бош создал петлю и окрасил зону, оказавшуюся внутри нее, в красный цвет, а зону, оказавшуюся снаружи — в черный. Если посмотреть на рисунок издалека, то создается впечатление, как будто на нем пересекаются две петли — красная и черная, которые образуют кельтский узел.

Роберт Фатауэр (Robert Fathauer), художник, занимающийся математическими головоломками в г. Феникс, штат Аризона, обнаружил, что для создания интересных математических узоров не требуются сложные формулы. Он попытался по-разному расположить квадратные фигуры, создавая повторяющиеся узоры. Начал он с красного куба, на гранях которого поместил оранжевые кубы, размером в два раза меньше, чем красный. Затем он поместил пять еще более мелких желтых кубов на грани каждого красного куба, и пять еще более мелких зеленых кубов на грани каждого желтого куба и т.д.

«Кристалл Фатауэра» строится из 13 повторений фрактального узора — кубы, помещенные на кубы, помещенные на кубы.
Robert Fathauer

«После нескольких повторений я заметил, что с конструкцией начало происходить что-то странное», — говорит Фатауэр. Ее форма стала походить на пирамиду с треугольными отверстиями. Еще более интересно то, что грани пирамиды образовали треугольник Серпинского — один из первых изученных фракталов.

Обычный способ построения треугольника Серпинского заключается в следующем: берете равносторонний треугольник, соединяете центры сторон и удаляете средний треугольник. Затем проделываете то же самое с каждым из оставшихся треугольников, и так до бесконечности. В итоге получается фигура, каждая составляющая часть которой будет выглядеть точно так же, как и фигура целиком. Самоподобие превращает ее во фрактал.

На создание этого произведения Эндрю Пайка (Andrew Pike) вдохновил фрактал Серпинского. Студент Оберлинского колледжа начал с фотографии польского математика Вацлава Серпинского (Waclaw Sierpinski), которую он воспроизвел при помощи элементов, сделанных из «ковра Серпинского». Чтобы сделать ковер Серпинского, возьмите квадрат, разделите его как для игры в крестики-нолики и удалите средний квадрат. Затем таким же образом разделите каждый оставшийся квадрат и удалите средние квадраты из них. Продолжайте до бесконечности и получите ковер Серпинского.

Пайк не стал продолжать до бесконечности, а лишь подготовил элементы, созданные путем различного количества повторений этого процесса. Некоторые из элементов начинались с белого цвета, а убранные квадраты окрашивались в черный, другие — начинались с черного, а убранные квадраты окрашивались в белый. Таким образом, он получил множество квадратов с различными градациями серого цвета.

Потрет Вацлава Серпинского, выполненный из элементов Серпинского.
Andrew Pike

Затем он написал компьютерную программу, которая поделила фотографию Серпинского на маленькие квадраты с усредненными оттенками серого цвета и подобрала для каждого из них элемент с похожим затемнением. «Но все равно получилось некрасиво», — рассказывает Пайк. «Переходы выглядели очень грубо».

Сделать элементы еще мельче было нельзя, так как принтер просто не смог бы напечатать столь мелкие точки. Поэтому он задействовал прием называемый «дизеринг». Он вычислил ошибку — разницу между оттенком фотографии и оттенком наиболее близкого элемента Серпинского — и распространил ее между другими близлежащими элементами. Это позволило сгладить изображение и избавиться от грубых переходов между ними.

«Мы выбрали фотографию Серпинского, потому что она самоотносима», — рассказывает Пайк. Что вполне подходит для приема, использующего самоподобные фракталы.

Произведение «Слоны и мышь» Доминика Рибаулта, вдохновленное математическим искусством М. К. Эшера (M.C. Escher) и Виктора Васарели (Victor Vasarely).
Dominique Ribault

Сайт выставки.